Konstruksi Geometris

Konstruksi Geometris Lanjutan

1.2 Konstruksi-konstruksi dengan lingkaran

(a) Membagi keliling lingkaran dalam bagian-bagian yang sama

     Pada umumnya membagi keliling lingkaran dapat dilakukan dengan cara membagi sebuah sudut. Disini akan diuraikan cara membagi keliling lingkaran dalam dua belas bagian yang sama. Dengan memakai penggaris T dan sebuah segi tiga 300 – 600 .Pembagian ini dapat dilakukan dengan mudah seperti terlihat pada Gb. 8.

  1. Tariklah diameter dengan menggunakan segi tiga sudut 600 menempel pada penggaris T ke kiri, dan sebuah diameter dengan cara yang sama, tetapi sudut 600 menghadap ke kanan.
  2. Tariklah diameter dengan cara yang sama, tetapi dengan sudut 300 yang menempel pada penggaris T, sekali menghadap kekiri dan sekali menghadap ke kanan. Garis-garis diameter dan garis-garis sumbu lingkaran ini akan membagi lingkaran dalam dua belas bagian yang sama.
Gb. 7 Membagi keliling lingkaran menjadi dua belas bagian yang sama

Gb. 8 Membagi keliling lingkaran
menjadi dua belas bagian yang sama

Pembagian ini dapat diselesaikan juga dengan cara geometris, sebagai berikut (Gb. 8):

  1. Gambarlah sumbu-sumbu AB dan CD, dan dengan titik potong O dari kedua garis sumbu tadi sebagai titik pusat, gambarlah lingkaran yang akan dibagi dalam 12 bagian yang sama.
  2. Dengan jari-jari lingkaran tersebut buatlah busur-busur kecil dengan titik pusat berturut-turut A, B, C dan D yang memotong lingkaran. Maka titik-titik potong ini merupakan titik-titik pembagi lingkaran.

(b)   Menggambar garis singgung pada sebuah lingkaran: 

Menggambar garis singgung pada lingkaran melalui titik pada lingkaran dapat diselesaikan seperti Gb. 9. 1.Tentukan titik A sedemkian rupa sehingga PA = OP = jari-jari lingkaran. Hubungkanlah titik O dengan A dan perpanjanglah dengan AB = OA. Garis PB adalah garis singgung melalui titik P pada lingkaran.


Gb. 9 Sebuah garis singgung pada sebuah lingkaran melalui sebuah titik pada lingkaran   

(c) Menggambar lingkaran atau busur lingkaran yang menyinggung pada dua buah garis lurus:     

Pertama-tama akan dibahas cara membuat lingkaran singgung pada dua garis tegak lurus (Gb. 10). Caranya sbb:

  1. Tentukanlah dua buah titik T1 dan T2, masing-masing pada garis AB dan CD, dimana jarak P’Ti = P’T2 = jari-jari lingkaran singgung r yang ditanyakan.
  2. Dengan T1 dan T2  sebagai titik pusat dan jari-jari r, tentukanlah titik  O. Maka titik  adalah titik pusat lingkaran singgung yang ditanyakan. Jika dipergunakan mesin gambar atau segitiga, titik O dapat ditentukan dengan menarik garis tegak lurus melalui T1 dan T2. Titik O adalah titik potong dari dua garis tegak lurus tersebut.

Sebuah busur yang menyinggung Dua garis tegak lurus
Sebuah busur yang menyinggung dua garis berpotongan

D. Menggambar garis-garis singgung pada dua lingkaran:

Ada dua pasang garis singgung pada dua lingkaran, seperti tampak pada Gb. 12.

i)  Pasangan garis singgung luar (Gb. 12 (a)).

Jari-jari lingkaran adalah R dan r, dan jarak antara titik pusat O1O2 = c.

  1. Buatlah lingkaran dengan jari-jari (R — r) dan titik pusat di-Oi.
  2. Tentukanlah titik A pada lingkaran ini, sebagai berikut. Gambarlah busur lingkarar irngan O2 sebagai titik pusat dan jari-jari c/2, yang memotong lingkaran dengan jari-jari (R — r) di A nn B. Titik O2 ialah titik tengah dari O1O2.
  3. Hubungkanlah O1 dengan A dan B, dan perpanjanglah garis-garis penghubung ini, sehingga masing-masing memotong lingkaran besar pada T1dan T’1.
  4. Tariklah garis sejajar dengan AO2 dan BO2 melalui T1 dan T’1). Garis-garis T1T2 dan T’1T’2 adalah pasangan garis singgung yang pertama.
a. Sabuk terbuka 

b. Sabuk menyilang

Gb. 12 Garis singgung pada dua buah lingkaran

ii)   Pasangan garis singgung dalam (Gb. 12 (b)).

Dengan cara yang sama seperti di atas masalah ini dapat diselesaikan, dengan perbedaan bahwa lingkaran yang digambar berjari-jari (R + r) pada titik pusat O2.

(e) Menggambar busur lingkaran yang menyinggung dua buah lingkaran dengan jari-jari R1 dan R2Di sini terdapat juga dua pasang busur lingkaran singgung. Pada, Gb. 13 hanya digambar sebuah.

i)  Pasangan pertama (Gb. 13 (a)).

  1. Gambarlah busur-busur lingkaran dengan jari-jari R1+r dan R2+r, masing-masing dengan O1 dan O2 sebagai titik pusat. Kedua busur lingkaran ini akan berpotongan di titik M.
  2. Dengan titik M sebagai titik pusat dan jari-jari r gambarlah busur lingkaran yang ditanyakan.

ii)  Pasangan kedua (Gb. 13 (b)). Pelaksanaannya sama seperti di atas, dengan perbedaan jari-jari busur lingkaran. Jari-jari busur lingkaran di sini adalah r – R1 dan r – R2. Setelah ditemukan titik M, maka busur lingkaran singgung dapat diselesaikan dengan mudah.

a
b.
Gb. 13 Sebuah busur menyinggung dua buah lingkaran

f) Panjang garis lurus yang mendekati panjang busur lingkaran atau sebaliknya:

Suatu bagian garis lurus yang panjangnya sama dengan panjang busur lingkaran, atau panjang busur lingkaran yang panjangnya sama dengan panjang garis lurus, dapat digambar dengan cara pendekatan.

(i) Menentukan panjang garis lurus yang mendekati panjang busur lingkaran (Gb. 14 ).

  1. Tentukanlah titik bagi C dari busur lingkaran AB, dan perpanjanglah BA dengan AD=AC.
  2. Gambarlah garis singgung busur pada titik A, dan gambarlah busur lingkaran dengan jari-jari BD dan titik pusat D, yang memotong garis singgung tadi di E. Maka AE = AB.
Gb. 14 Panjang garis lurus yg sama dengan panjang busur

Jika sudut busur AOB lebih besar dari 90°, kesalahannya akan menjadi terlalu besar. Dalam hal ini bagilah busur lingkaran tersebut dalam beberapa bagian dengan sudut yang lebih kecil dari pada 90°, kemudian tentukanlah panjang busur lingkaran seperti di atas. Maka panjang keseluruhan dari busur lingkaran tersebut adalah jumlah dari bagian-bagian panjang busur lingkaran.

Gb. 15 Panjang busur yg sama dengan panjang garis lurus

ii) Menentukan panjang garis lurus pada busur lingkaran (Gb. 15).

  1. Gambarlah garis singgung busur pada titik A. Buatlah AC sama dengan seperempat AB.
  2. Gambarlah dengan titik C sebagai titik pusat dan CB sebagai jari-jari busur lingkaran yang memotong busur lingkaran yang diketahui di D. Maka AD=AB.

Jika sudut busur lebih besar dari 60°, selesaikanlah dengan membaginya dalam dua atau empat bagian dengan cara seperti di atas.

iii)  Panjang garis lurus yang mendekati keliling lingkaran.

Cara yang digambarkan pada Gb. 16 merupakan pendekatan, tetapi mempunyai ketelitian yang cukup tinggi.

  1. Ambillah titik C pada lingkaran, di mana sudut AOC = 30°.
  2. Gambarlah CD tegak lurus pada AB.
  3. Gambarlah garis singgung pada lingkaran di titik B, dan tentukanlah titik E dengan BE = 3 x AB.
  4. Hubungkanlah D dengan E, maka panjang DE adalah pendekatan panjang keliling yang diketahui.

Gb. 17 Panjang garis lurus yang sama dengan setengah keliling lingkaran.

2. Garis-garis lengkung

2.1 Potongan-potongan kerucut

      Jika sebuah kerucut dipotong oleh sebuah bidang datar dalam macam-macam kedudukan, akan menjadi bermacam-macam garis potong. Tergantung dari kedudukan bidang datar tersebut, maka garis potongnya dapat berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hyperbola, yang disebut potongan-potongan kerucut.

      Sudut antara sumbu kerucut dan garis pembentuk disebut α, dan sudut antara sumbu kerucut dan bidang potong disebut β. Hubungan antara α dan β menentukan bentuk potongan kerucut sebagai berikut:

α < β, elips (Gambar 18)

α = β, parabola (Gambar 19)

α > β, hyperbola (Gambar 20)

(a) Elips: cara menggambar elips, yang kedua sumbu utamanya diketahui akan dibahas berikut ini.

  1. Gambarlah dua buah lingkaran sepusat dengan sumbu panjang dan sumbu pendek dengan diameter.
  2. Tariklah garis-garis radial yang memotong kedua lingkaran pada titik 1, 2, …dan  1’, 2’, …dari titik-titik 1, 2, …
  3. Dari titik-titik 1, 2, … tariklah garis-garis sejajar dengan sumbu pendek, dan dari titik-titik 1’, 2’, … garis-garis sejajar dengan sumbu panjang. Dua macam garis ini akan saling berpotongan di titik 1”, 2”, … Titik-titik potong ini adalah titik-titik dari elips.
  4. Hubungkanlah titik-titik ini dengan menggunakan sebuah mal lengkungan, maka akan dihasilkan elips yang ditanyakan.

(b) Parabola: pada gambar dibawah diperlihatkan cara emnggambar parabola, jika sumbu AB, titik puncak A dan sebuah titik sembarang P diketahui.

  1. Gambarlah garis tegak lurus CD pada AB melalui titik puncak A.
  2. Gambarlah garis tegak lurus PE pada AB melalui titik P, dan ambillah BE=BP.
  3. Bagilah BP dan CP dalam beberapa bagian yang sama dan jumlahnya sama, dan berilah tanda 1, 2, 3, … dan 1’, 2’, 3’, … pada titik bagi tersebut.
  4. Tariklah garis-garis sejajar dengan AB melalui titik-titik bagi 1, 2, 3, … Hubungkanlah A dengan titik-titik bagi 1’, 2’, 3’, … Garis-garis ini akan memotong garis-garis sejajar pada titik-titik 1”, 2”, 3”, … , yang merupakan titik-titik dari parabola yang ditanyakan.dengan menghubungkan titik-titik parabola ini dengan mal lengkungan akan diperoleh parabolanya. Bagian parabola yang simetris dapat diselesaikan dengan cara yang sama.

(c) Hyperbola: pada gambar dibawah diperlihatkan cara menggambar hyperbola, jika sumbu AB, duat titik puncak A dan A’ dan sebuah titik P pada hyperbola diketahui.

  1. Gambarlah segi empat panjang melalui titik puncak A dan titik P, dengan BE=PE.
  2. Bagilah BP dan CP dalam beberapa bagian yang sama dalam jumlah yang sama, dan berilah tanda 1, 2, 3, … dan 1’, 2’, 3’, …
  3. Hubungkanlah titik A dengan 1, 2, 3, … dan titik A’ dengan 1’, 2’, 3’, … kumpulkan garis-garis ini akan berpotongan pada titik 1”, 2”, 3”, … Hubungkanlah titik-titik terakhir ini dengan menggunakan sebuah mal lengkungan, maka hasilnya adalah bagian dari hyperbola yang ditanyakan

2.2 Lengkungan bentuk gigi

      Beberapa bentuk lengkungan dipakai untuk membentuk esbuah gigi dari suatu roda gigi. Yang umum dipakai adalah lengkungan evolvent dan lengkungan cycloida.

(a) Evolvent: sebuah lengkungan yang dihasilkan oleh sebuah titik pada benang yang dilepas dari gulungan pada sebuah lingkaran, atau sebaliknya, dengan ketentuan bahwa benangnya harus tetap tegang, seperti gambar dibawah.

Cara menggambarnya:

  1. Gambarlah sebuah lingkaran dengan titik pusat O, dan tariklah garis singgung AB melalui titik A pada lingkaran tersebut. Panjang AB adalah sama dengan panjang keliling lingkaran (lht. Gb. 16).
  2. Bagilah keliling lingkaran dan garis singgung dalam bagian-bagian yang sama dalam jumlah yang sama. Di sini keduanya dibagi dalam duabelas bagian yang sama. Berilah tanda pada titik-titik bagi masing-masing 1, 2, 3, … dan 1’, 2’, 3’, … 
  3. Tariklah pada titik-titik 1, 2, 3, … garis-garis singgungnya. Buatlah panjangg garis singgung 11”=A1’, 22’=A2’,33’, dst. Jika titik-titik 1”, 2”, 3”, … dihubungkan dengan bantuan sebuah mal lengkungan, maka akan dihasilkan garis evolvent.

2. Bagilah lingkaran dan garis singgung dalam bagian-bagian yang sama dalam jumlah yang sama. Di sini diambil duabelas bagian yang sama. Berilah tanda-tanda 1, 2, 3, … pada lingkaran dan 1’, 2’, 3’, … pada garis singgung.

3. Tariklah garis-garis sejajar dengan AB melalui titik-titik 1, 2, 3, … , dan garis-garis tegak lurus pada AB melalui titik 1’, 2’, 3’, … Dan kelompok garis ini akan saling berpotongan di titik-titik 1”, 2”, 3”, … Gambarlah pada titik 1”, 2”, 3”, … sebagai titik pusat lingkaran-lingkaran yang sama dengan lingkaran yang diketahui. Lingkaran-lingkaran ini akan memotong garis-garis sejajar dengan AB di titik-titik 1”’, 2”’, 3”’, … Jika titik-titik terakhir ini dihubungkan oleh sebuah garis licin, akan dihasilkan cycloida.

Epicycloida dan dan Hypocycloida: jika sebuah lingkaran menggelinding di luar atau di dalam sebuah lingkaran, maka sebuah titik pada lingkaran gelinding ini akan menggambarkan sebuah epicycloida atau hypocycloida. Pada gambar di bawah diperlihatkan cara yang sama pada pembuatan cycloida dipakai juga di sini, kecuali garis lurusnya diganti dengan sebuah busur lingkaran.

admin

About the author

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

RSS
Follow by Email
Facebook
Twitter
YouTube
Pinterest
Instagram